www.whkt.net > 设数列{Xn}有界,又limyn=0(n趋向于无穷大),证明:limxnyn=0(n趋向于无穷大).

设数列{Xn}有界,又limyn=0(n趋向于无穷大),证明:limxnyn=0(n趋向于无穷大).

设|xn|上确界为sup|xn| lim xnyn =(大于等于)lim -|xn|yn >=lim -sup|xn|yn = 0 即 0 评论0 0 0

因为数列{xn}有界所以-m-myn=xnyn由两边夹定理limxnyn=0

因为数列{Xn}有界 所以不妨假设|Xn|<M(M>0) 因为数列{Yn}的极限是0 则对于任意给出的e,总存在N,使得n>N时,|Yn|<e/M 于是当n>N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|<M*e/M=e 由于e的任意性 所以数列{XnYn}的极限是0

数列Xn有界,即!Xn!<=M恒成立.limYn=0,即对任意E>0,总有N>0使得当n>N时!Yn-0!<E恒成立.而!Xn!*!Yn-0!=!XnYn-0!所以对任意ME>0,总有N>0使得当n>N时!XnYn-0!<ME恒成立.所以limXnYn=0

正确解答:因为Xn有界,故极限可化为:limXn*limYn=limXn*0=0

数列Xn有界,即!Xn!<=M恒成立. limYn=0,即对任意E>0,总有N>0使得当n>N时!Yn-0!<E恒成立. 而!Xn!*!Yn-0!=!XnYn-0! 所以对任意ME>0,总有N>0使得当n>N时!XnYn-0!<ME恒成立. 所以limXnYn=0

因为数列{Xn}有界所以不妨假设|Xn|0)因为数列{Yn}的极限是0则对于任意给出的e,总存在N,使得n>N时,|Yn|N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|

这是假定的是xn绝对值的最大值小于M所以ε/M也是任意无穷小吧因为limYn=0,所以存在N>0,当n>N时,总有|Yn-0|=|Yn|其实ε/M和ε是等效的,都是无穷小

因为Xn有界 所以LimXn存在,设LimXn=RLimXnYn=LimXn*LimYn=R*0=0

用定义证明{xn}有界,设|xn|0对于任意的ε>0由limyn=0可得存在N,当n >N时,|yn|即|xnyn|即xnyn的极限是0 楼上的不能用limxnyn=limxn*limyn因为xn有界不一定有极限,最简单的如,xn=sin(n), 显然xn有界,但是没有极

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