www.whkt.net > 1/(sinx^2+1)的不定积分

1/(sinx^2+1)的不定积分

∫1/(sinx)^2 dx = ∫(cscx)^2dx = -cotx + C

1/(1+(sinx)^2)=2/(3-cos2x)=1/(3/2-1/2cos2x) 其不定积分为:(1/根号2)*arctan[(根号2)*sin2x]/(3cos2x-1)

题目疑为 1/(sinx)^2,否则得不到原函数 思路:凑微分 过程:参考下图

(cotx)'=(cosx/sinx)'=[(cosx)'*sinx-cosx*(sinx)']/(sinx)^2 =[-sinx*sinx-cosx*cosx]/(sinx)^2 = -1/(sinx)^2所以∫1/(sinx)^2 dx= -∫d(cotx)= -cotx +C

原式=∫[1/(sinx)^2]/[1+1/(sinx)^2]dx=-∫1/[2+(cotx)^2]d(cotx)=-(1/√2)∫1/[1+(cotx/√2)^2]d(cotx/√2)=-(1/√2)arctan(cotx/√2)+C或者另外一种方法:1.分子分母同时除以(cosx)^22.换元:原式=∫1/[1+2(tanx)^2]d(tanx)=1/2(∫1/[(1/√2)^2+(tanx)^2]d(tanx))3.套公式得:-(1/√2)arctan(cotx/√2)+C

或者这样 ∫dx/(sinx+2) =∫dx/(2+cos(π/2-x)) =∫dx/(1+2cos(π/4-x/2)^2) = -∫d(π/4-x/2)/[cos(π/4-x/2)^2 *(2+sec(π/4-x/2)^2)] =-∫dtan(π/4-x/2)/(3+tan(π/4-x/2)^2) =(-1/√3)∫d[tan(π/4-x/2)/√3]/[1+tan(π/4-x/2)^2/3] =(-1/√3)arctan [ tan(π/4-x/2) /√3] +C

∫ 1/(1+2sinx) dx分子分母同除以cosx=∫ secx/(secx+2tanx) dx=∫ 1/(secx+2tanx) d(tanx)=∫ 1/(tanx+1+2tanx) d(tanx)=∫ 1/(1+3tanx) d(tanx)=(1/√3)∫ 1/(1+3tanx) d(√3tanx)=(1/√3)arctan(√3tanx)+C

提示1=sinx+cosX,tanx'=1÷(cosX

∫f(sinx)cosxdx =∫f(sinx)dsinx 因为∫f(x)dx=1/(1+x^2) +c 所以∫f(sinx)dsinx = 1/[1+(sinx)^2] +c 那么∫f(sinx)cosxdx =1/[1+(sinx)^2] +c 哪里看不懂 发消息问我 乐意解答.

1+(sinx)^2=1+(1-cos2x)/2=1.5-0.5cos2x+cso 1+(sinx)^2的不定积分为 1.5x-0.25sin2x+c1楼的最后积分cos和sin都没变.

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