www.whkt.net > 证明 ArCtAnx+ArCtAn1/x=π/2 (x>0) 用中值定理

证明 ArCtAnx+ArCtAn1/x=π/2 (x>0) 用中值定理

设f(x)=arctanx+arctan1/x,f(1)=arctan(1)+arctan(1)=π/2f'(x)=1/(1+x^2)+1/(1+(1/x)^2))*(-1/(x^2))=0对任意a>0,f(x)在[a,1](或[1,a])上连续,在(a,1)(或(1,a))上可导.根据中值定理:存在u,满足u在a与1之间,使得f'(u)=(f(a)-f(1))/(a-1)=0->f(a)=f(1)=π/2即对任意a>0,满足f(a)=π/2

证明过程如下:设f(x)=arctanx+arctan1/x当x=1时,f(1)=arctan(1)+arctan(1)=π/2当x=a,a>0且≠1f'(x)=1/(1+x^2)+1/(1+(1/x)^2))*(-1/(x^2))=0对任意a>0,f(x)在[a,1](或[1,a])上连续,在(a,1)(或(1,a))上可导根据中值定理:存在u,满足u在a与1

第一步:arctanx +arctan1/X 求导 发现等于0 我们知道常数的倒数等于0 故arctanx +arctan1/X =常数 C第二步:随便让x等于一个数 就可以求出常数C 不妨带0 1/X为无穷大 我们知道tanπ/2 为无穷大 因此 C= 无穷大 等式成立可不可以再问你个问题啊,就是请用法治思维理念剖析你的大学生活中的一件事

令f(x)=arctanX+arctan(1/X)f'(x)=1/(1+x方)+1/(1+1/x方) *(-1/x方)=1/(1+x方)-1/(1+x方)=0即f(x)≡C取x=1,得f(1)=arctan1+arctan1=π/4+π/4=π/2即C=π/2所以arctanX+arctan(1/X)=π/2

假设f(x)=arctanx+arctan(1/x)两边求导得易得 f'(x)=(arctanx)'+(arctan(1/x))'=0 可知原函数是个常数设f(x)=c 令x=∞带入可得c=pi/2有不懂的可以继续问我

对arctanx+arctcotx求导,得0.所以arctanx+arctcotx恒为一个常数.再用x=1带入一下就行了

tan(arctanx+arctan1/x)=(tanarctanx+tanarctan1/x)/(1-tanarctanxtanarctan1/x)=(x+1/x)/(1-1)正切不存在,因此arctanx+arctan1/x=π/2

这个有很多种证法如果是高中的,只举一例tan(arctanx+arctan1/x)=(tanarctanx+tanarctan1/x)/(1-tanarctanxtanarctan1/x)=(x+1/x)/(1-1)发现问题了吗?正切不存在,因此arctanx+arctan1/x=π/2

设f(x)=arctanx+arctan1/x(x>0)f'(x)=1/(1+x)+1/[1+(1/x)]*(1/x)'=1/(1+x)+1/[1+(1/x)]*(-1/x)=1/(1+x)-1/(1+x)=0所以f(x)在x>0上为常数函数在x>0上任意取一个x,特别地,令x=1,f(x)=π/2所以f(x)=π/2您好,很高兴为您解答希望能够帮助您如果本题有什么不明白欢迎追问祝你学习进步!

tan(pi/2-a)=cota=1/tana 令x=tana,所以有 arctan[tan(pi/2-a)]=arctan(cota)=arctan(1/tana) pi/2-a=arctan(1/x) 又tana=x,所以a=arctanx 所以arctanx+arctan(1/x)=pi/2 【这里pi是派】

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