www.whkt.net > 微分方程2yy"=(y')^2+y^2在y(0)=1,y'(0)=%1的特解

微分方程2yy"=(y')^2+y^2在y(0)=1,y'(0)=%1的特解

令p=y' 则y"=pdp/dy 代入方程:pdp/dy+2/(1-y)*p^2=0 dp/p=2dy/(y-1) 积分:ln|p|=2ln|y-1|+C 得:p=C1(y-1)^2 dy/(y-1)^2=C1dx 积分;-1/(y-1)=C1x+C2 故y=1-1/(C1x+C2)

y = e^(-x)

由条件得x=0时,u=-1,du/dy=0,因此u恒等于常数-1,然后把u代入.

y'=p,则y"=p'=p*dp/dy 2dp/dy=p/y+y/p .这是齐次. 算出来是[(2z)/(1-z)]*dz=dy,后面就是计算问题.这是我第二次回答这个问题了.

设y'=p(y),则y''=dp/dy*p,方程2yy''=y'^2+y^2化为2pyp'=p^2+y^2,① 由2pyp'=p^2得2p'/p=dy/y,2lnp=lny+lnc,p^2=cy,p=土√(cy),设p=土√[yc(y)],则p'=土[c(y)+yc'(y)]/{2√[yc(y)]},代入①,y[c(y)+yc'(y)]=yc(y)+y^2,所以c'(y)=1,c(y)=y+c,所以y'=土√(y^2+cy),y'(1)=-1,所以-1=-√(1+c),c=0.所以y'=-y 所以,y=e^(-x)+c1,y(0)=1,所以c1=0,所以y=e^(-x).

yy"+y'^2 =0 (yy')'=0 yy'=C1 y|(x=0)=1,y'|(x=0)=1/2 1(1/2)=C1 得C1=1/2 yy'=1/2 (1/2)(y2 )'=1/2 y2=x+C2 y|(x=0)=1 12=0+C2 C2=1 y2=x+1 y|(x=0)=1 y=√(x+1) 所以 yy"+y'^2 =0满足初始条件y|(x=0)=1,y'|(x=0)=1/2的特解是 y=√(x+1)

2yy′=(y′)^2+y^2 所以(y′)^2-2yy′+y^2=(y'-y)^2=0 所以 y'=y 即 dy/y=dx lny=x+c 所以 通解为y=Ce^x

设y'=p(y),则 y''=p*p'(y),原方程变为2pyp'=p^2+y^2.① 由2pyp'=p^2得2dp/p=dy/y,2lnp=lny+lnc,p=√(cy),设p=√[yc(y)],则 p'=[c(y)+yc'(y)]/(2p),代入①,y[c(y)+yc'(y)]=yc(y)+y^2,∴c'(y)=1,积分得c(y)=y+c,∴y'=√[y(y+c)] ∴dy/√[y^2+cy]=dx,积分得∫dy/√(y^2+cy)=x+c2.剩下部分留给您练习.

这是一个二阶微分方程,只需要找出两个特解即可.容易验证指数函数满足条件,因此y=Ce^x+De^(-x)为通解.

2yy′=(y′)^2+y^2所以(y′)^2-2yy′+y^2=(y'-y)^2=0所以y'=y即dy/y=dxlny=x+c所以通解为y=Ce^x

相关搜索:

网站地图

All rights reserved Powered by www.whkt.net

copyright ©right 2010-2021。
www.whkt.net内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com