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曲面参数方程求切面

z=arctan(y/x),dz=d(y/x)/[1+(y/x)^2]=(xdy-ydx)/(x^2+y^2),在点(1,1,π/4)处,切平面的法向量为(1/2,-1/2,-1),∴切平面方程是(1/2)(x-1)-(1/2)(y-1)-(z-π/4)=0,即x-y-2z+π/2=0.法线方程是x-1=(y-1)/(-1)=(z-π/4)/(-2).

两种方法:一种是把参数方程转换成F(x,y,z)=0的形式,但是一般不容易转换;另一种是雅可比行列式形式的直接求解:--------------------- 参考资料:http://wenku.baidu.com/link?url=bIyg1nT4HwKPBRJPS74tfE-mUGdVM5DIPQ0ZKS4kYMncGndGa52QhEIA409W2zY8SHxVrgYtIiy06HQiPQu0XZZVkAi750lEdk_pqz2mgRS

曲面f(x,y,z)=0 记f(x,y,z)在点(a,b,c)的偏导数fa、fb、fc 那么在点(a,b,c)处的切平面方程为 fa(x-a)+fb(y-b)+fc(z-c)=0

F(x,y,z) = x + y - z + e^z = 0 F(x,y,z)的梯度就是法向量 grand(F) = (F/x ,F/y ,F/z) F/x = 1 F/y = 1 F/z = -1+e^z 可得grand(F)|(1,0,0) = (1,1,0) 法向量即法线的方向向量,可得法线的参数方程为{x=1+t , y=1+t , z=0} 而切平面的点法式方程为(x-1)+(y-1)+(z-0)=0,即x+y+z=2

,

设曲面议程为 f(x,y,z)其对x y z的偏导分别为 (x,y,z),f2(x,y,z) ,f3(x,y,z) 将点(2,1,0)代入得 [f1,f2,f3] (法向量) 切平面方程f1*(x-2)+f2*(y-1)=0 法线方程(x-2)/f1=y-1)/f2且z=0 注:1 大小写是一个意思,用大写只是为了打字方便 2 因为点(2,1,0)z值是零所以没有用到f3

曲面上一点(x,y,z)处的法向量为n=(x/2,2y,2z/9)把点P带入得到n=(1,-2,2/3)可以取n0=(3,-6,2)所以切平面为3(x-2)-6(y+1)+2(z-3)=0整理后3x-6y+2z=18法线为(x-2)/3=(y+1)/(-6)=(z-3)/2

曲线的参数方程为 {x=t-sint,y=1-cost,z=4sin(t/2) ,分别对 t 求导,得 x '=1-cost,y '=sint,z '=2cos(t/2) ,将 t0=π/2 分别代入,可得切点坐标为(π/2-1,1,2√2),切线方向向量 v=(1,1,√2),所以,切线方程为 (x-π/2+1)/1=(y-1)/1=(z-2√2)/√2 ,法平面方程为 1*(x-π/2+1)+1*(y-1)+√2*(z-2√2)=0 .

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