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幂级数收敛的判别方法

因为1/(n*(n+1))1/n*(n+1) =1/n -1/(n+1) 所以从1一直加到n的和数列为1-1/(n+1),当n趋于无穷时,分母为0,即收敛于1~

下面给出一个简单的证明.(1)可以看出a(n+2)是a(n+1)和a(n)的线性组合,而且a(1)=0,因此可以猜想 a(n)是关于β的线性函数,即 过程可以通过数学归纳法来证明,这里不加详细证明,需要过程请追问.既然本命题成立,因此只考虑β=1的情况

幂级数Σa_n*x^n(n从0到+∞)在收敛半径之内绝对收敛,在收敛半径之外发散.在收敛区间端点上有可能条件收敛、绝对收敛或者发散.所以面对一个幂级数应该首先求出它的收敛半径,然后判断收敛区间端点上的敛散性.而因为区间端点对应确定的x值,此时的幂级数就变成了一个数项级数,因此按照数项级数的审敛准则来判断敛散性,例如p-级数、交错级数等.

如果仅仅是知道在两个点的收敛和发散是不能确定幂级数收敛半径的.比如某个在0点处展开的幂级数在x=1收敛,在x=5发散,那么它的收敛半径可能是1到5之间的任何数.但是,如果知道的这两个点关于展开点是对称的,比如在0处展开的幂级数,在x=7处发散,而在-7处收敛,那么幂级数收敛半径就是7了(这两点之差的一半).因为幂级数在收敛半径只内都是收敛,只有在收敛区间端点处(距离展开点距离相同),才会出现条件收敛.

首先可根据级数收敛的必要条件,级数收敛其一般项的极限必为零.反之,一般项的极限不为零级数必不收敛.若一般项的极限为零,则继续观察级数一般项的特点:若为正项级数,则可选择正项级数审敛法,如比较、比值、根值等审敛法.若为交错级数,则可根据莱布尼茨定理.另外,还可根据绝对收敛与条件收敛的关系判断.

根据阿贝儿定理,求幂级数的收敛域,可以先求收敛半径,再判断收敛区间的端点处的收敛性.计算简化了 阿贝尔定理可以判断收敛区间端点处的敛散性.

幂级数的收敛性,无非是求收敛半径,这道题用比值判别法和根值判别法都容易得到,这里写起来很麻烦,你还是自己写吧.你这里有个问题,原题的X^n是在分母里的?如果在分母里的话,这个级数本身不是X的幂级数,而需要做个变换,看做Y=1/X的幂级数,然后用通常的办法求出关于Y的幂级数的收敛区间后,再利用Y=1/X,讨论原级数的收敛域,结论才完整.

你收敛半径会求已经好办很多了.收敛的范围必然在(x1-R,x1+R)这应该没有问题吧?所以关键还是在两个端点上.最正常的方法就是把两个端点分别代回原级数中去观察或者分析得出敛散性.

后面那个但是这个求出的不是收敛半径它是个含有x的式子P*|X|P*|x|R=1/P 才是收敛半径

元旦快乐!Happy New Year !1、本题中的等于号应该删去;2、本题是典型的幂级数(Power series),解答收敛半径的方法有两种: A、比值法; B、根值法.3、收敛半径是从英文Convergent Radius翻译而来,它本身是一个 牵强附会的概念,不涉及平面区域问题,无半径可言.它的准确 意思是:收敛区间长度的一半.4、两种解法的具体过程如下:

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