www.whkt.net > 利用留数定理计算积分I=x^2+x+1/x^4+10x^2+9

利用留数定理计算积分I=x^2+x+1/x^4+10x^2+9

解:分享一种解法.∵x^4+10x+9=(x+1)(x+9),∴原式=(1/8)∫(-∞,∞)cosxdx/(x+1)-(1/8)∫(-∞,∞)cosxdx/(x+9).设f(z)=1/(z+1),在上半平面有一个一阶极点z=i,其留数Res[f(z),i]=Re[f(z)e^(iz),i]=e^(-1)/(2i);同理,设f(z)=1/(z+9),其留数Res[f(z),3i]=e^(-3)/(6i),∴由柯西积分定理,原式=(2πi)*(1/8)[e^(-1)/(2i)-e^(-3)/(6i)]=(π/8)[1/e-1/(3e)].供参考.

这2个积分不能用留数来计算留数计算∫{-∞,+∞}f(x)dx型积分的时候要求f(x)是有理函数,即分子和分母分别是x的m和n次多项式并且m,n为非负整数,以及n>=m+2以上两个积分的被积函数不是有理函数

∫{-∞,+∞} 1/(1+x^2)^2dx=2πiRes(1/(1+z^2)^2,i)=π/2

这个题不好想,但是想起来了,就很好做了,记住这个题吧,少年被积函数分子分母除以x有∫(x^2+1)/(x^4+1)dx = ∫(1+1/x)/(x+1/x)dx令u=x-1/x , 则 du = (1+1/x)dx且 u = x+1/x -2则原式= ∫ du/(u+2)=1/根号2 * arctan (u/根号2)+c再u=x-1/x代进去原式==1/根号2 * arctan[ (x-1/x)/根号2)]+c

将c配方得(x-1)^2+y^2=1,也就是围(1,0)的单位元.明显1/(z*4)的奇点为正负i,正负1因此只有正1在圆内,留数定理得pii/21是整函数因此cauchy goursat定理得1的积分为0 因此pii/2+0=pii/2

分子分母同时除以x^2后凑微分.

利用综合除法 因式定理来分解因式 x^3+x^2-10x-6 6=1*6=2*3f(3)=0所以有因式:(X-3)用综合除法得:x^3+x^2-10x-6=(x-3)(x^2+4x+2)x^3+x^2-10x+8 8=1*8=2*4f(2)=0,所以

积分:(x^2+1)/(x^4+1)dx=积分:(1+1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx(上下同时除以x^2)=积分:d(x-1/x)/[(x-1/x)^2+(根号2)^2]=1/根号2*arctan[(x-1/x)/根号2]+c=1/根号2*arctan[(x^2-1)/(x根号2)]+c(c为常数)

利用留数定理计算积分: 其中C为正向椭圆:x2一xy+y2+x+y=0(z=x+iy). 其中C为正向椭圆:x2一xy+y2+x+y=0(z=x+iy). 请帮忙给出正确答案和分析,谢谢! 悬赏: 0 答案豆 提问人:00****42 您可能感兴

(1+x^2)/(1+x^4)=-1/((根2*x+1)^2+1)-1/((根2*x-1)^2+1)广义积分=-根2/2*arctan(根2*x+1)-根2/2*arctan(根2*x-1)|

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