www.whkt.net > 矩阵习题 设Ap=p∧,其中p= (1 1 1,1 0 %2,1 %1 1)

矩阵习题 设Ap=p∧,其中p= (1 1 1,1 0 %2,1 %1 1)

解: |A-λE|= 5-λ 0 2 0 5-λ 2 2 3 2-λ r1-r2 5-λ λ-5 0 0 5-λ 2 2 3 2-λ c2+c1 5-λ 0 0 0 5-λ 2 2 5 2-λ = (5-λ)[(5-λ)(2-λ)-10] = (5-λ)(λ-7)λ 所以A的特征值为5,7,0. (A-5E)x=0 的基础解系为 a1=(3,-2,0)^T (A-7E)x=0 的基础解系为 a2=(1,1,1).

PA=p∧ P显然是可逆的 因此A=∧=diag(-1,1,5) Ψ(A)=A^8(5E-6A+A^2)=diag(-1,1,5)^8(5E-6diag(-1,1,5)+diag(-1,1,5)^2)=diag(1,1,5^8)(5E-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25))=diag(1,1,5^8)(diag(5+6+1,5-6+1,5-30+25))=diag(1,1,5^8)diag(12,0,0)=diag(12,0,0)

这种题目, p一定是可逆的, a=pbp^-1 需直接计算 a^5 = pb^5p^-1.所以, 用初等行变换先求出p^-1 = 1 0 02 -1 0-4 1 1 所以 a=pbp^-1 =1 0 02 0 06 -1 -1 因为 b^5 = b 所以 a^5 = a

P=(-1,-4;1,1)则P^-1=1/3(1,4;-1,-1) P^-1AP=D 所以A=PDP^-1=(-1,-4;1,1)*(-1,0;0,2)*1/3(1,4;-1,-1)=(-3,4,;1,-2)3A^3=3P*D^3*P^-1=(33,-36;-9,-12) A^101=P*D^101*P^-1

思路:等号两边同时右乘等号左边矩阵(是可逆的)的逆.

a是一个3阶的实对称矩阵,有3个实特征值分别是:1,1,3,其中特征值1是二重的,要求的可逆矩阵p就是这3个特征值对应的特征向量,求出即可.这里用到的是线性代数中的如下几个定理:1. n阶矩阵a能与对角阵相似的充要条件是a有n个线性无关的特征向量.2. 实对称阵a的特征值都是实数.3. 实对称阵的不同特征值对应的特征向量一定是互相正交的.4. 实对称阵a的r重特征值λ一定有r个线性无关的特征向量.可以参考线性代数或高等代数实对称矩阵相关章节.

用初等行变换的方法算出P的逆矩阵(P,E) |1 0 0 1 0 0| |2 -1 0 0 1 0| |2 1 1 0 0 1|= |1 0 0 1 0 0| |0 -1 0 -2 1 0| |0 1 1 -2 0 1|= |1 0 0 1 0 0| |0 1 0 2 -1 0| |0 0 1 -4 1 1| |1 0 0| ∴P = |2 -1 0| |-4 1 1|

A=PBP^(-1),A^11=PBP^(-1)PBP^(-1)……PBP^(-1)消去PP^(-1)后,得A^11=PB^(11)P^(-1)不难求得,B^11第一行为-1和0,第二行为0和2^11P^(-1)第一行为1/3和4/3,第二行为-1/3和-1/3然后你把他们乘起来就可以了

解: a= 1 -2 -4-2 4 -2-4 -2 1 |a-λe| =1-λ -2 -4 -2 4-λ -2 -4 -2 1-λ r3-r11-λ -2 -4 -2 4-λ -2 λ-5 0 5-λ c1+c3-3-λ -2 -4 -4 4-λ -2 0 0 5-λ= (5-λ)[(-3-λ)(4-λ)-8]= (5-λ)(λ^2-λ-20)= -(4+λ)(5-λ)^2.所以a的特征值为: 5,5,-4.(a-5e)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,-1)^t,a2=(

|A-λE| = -λ(2-λ)^2所以A的特征值为0,2,2解得 AX=0 的基础解系:a1=(0,1,1)'解得 (A-2E)X=0 的基础解系:a2=(1,0,0)',a3=(0,1,-1)'令P=(a1,a2,a3)=0 1 01 0 11 0 -1则P可逆,且P^-1AP = diag(0,2,2).

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